Rappel de Cours Matrices 2 : Produit de deux matrices

  • Produit de deux matrices

Soient :

A une matrice à n lignes q colonnes
B une matrice à q lignes p colonnes.

Leur produit est la matrice C = A B à n lignes p colonnes définie par ses coefficients :

cij = ai1 b1j + ai2 b2j + ...+aiq bqi      (pour i =1, 2,..., n et j = 1, 2, ..., p)

On dit que le coefficient cij est obtenu en multipliant la ieme ligne de A par la jeme colonne de B.

Un exemple détaillé :

A =  
1 2 3
7 8 9
4 5 6
   ; B =  
21 22
100 50
70 80
   

 

C = AB =  
1 2 3
7 8 9
4 5 6
       
21 22
100 50
70 80
 

Détaillons le calcul de c11 :

C =  
1 2 3
7 8 9
4 5 6
       
21 22
100 50
70 80
   =  
1x21+2x100+3x70 ...
... ...
... ...
 

calcul de c12 :

C =  
1 2 3
7 8 9
4 5 6
       
21 22
100 50
70 80
   =  
431 1x22+2x50+3x80
... ...
... ...
 

calcul de c21 :

C =  
1 2 3
7 8 9
4 5 6
       
21 22
100 50
70 80
   =  
431 362
7x21+8x100+9x70 ...
... ...
 

et ainsi de suite ...

C=  
1 2 3
7 8 9
4 5 6
       
21 22
100 50
70 80
   =  
1x21+2x100+3x70 1x22+2x50+3x80
7x21+8x100+9x70 7x22+8x50+9x80
4x21+5x100+6x70 4x22+5x50+6x80
 

Finalement :

C =    
431 362
1577 1274
1004 818
 
Remarque importante : Pour que le produit A B soit possible, il faut que le nombre de colonnes de A soit égal au nombre de lignes de B.
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