Rappel de Cours Matrices 3 : Résolution d'un système linéaire par la méthode d'élimination de Gauss

  • Introduction

Examinons les deux systèmes linéaires ci-desous :

 

(A)  
3x + 5y + 7z = 101
2x + 10y + 6z = 134
1x + 2y + 3z = 40
    (B)  
2x + 5y + 3z = 49 (L1)
    4y + 2z = 30 (L2)
        7z = 21 (L3)

Le système (A) n'est pas très simple à résoudre car les 3 inconnues sont présentes dans les 3 équations.

Le système (B) est très simple à résoudre :
(L3) donne : z = 3.
Puis dans (L2) : 4y +6 = 30 donc y = (30-6)/4 = 6.
Enfin dans (L1) : 2x + 30 + 9 = 49 donc x = (49 - 30 - 9)/2 = 5.

Conclusion : On a trouvé la solution du système (B) :

 
 
x = 5
y = 6
z = 3

Le système linéaire (B) est triangulaire supérieur.

Problème : les systèmes linéaires se présentent plus souvent sous la forme du système (A) que sous la forme triangulaire supérieure comme le système (B).

Solution : pour résoudre le système (A), on le transforme en un système triangulaire supérieur équivalent.

Méthode : la méthode de Gauss se décompose en deux étapes :

1ère Etape : élimination de Gauss : on forme le système triangulaire supérieur équivalent en éliminant tous les termes situés sous la diagonale du système.

2ème Etape : remontée : on résout le système triangulaire supérieur comme on vient de le faire pour le système (B).

 
  • 1ère étape : élimination de Gauss

Pour former un système triangulaire supérieur équivalent, on dispose de deux opérations élémentaires :

OP 1 : on multiple la ligne Li par un nombre réel non nul a : Li <- aLi

OP 2 : à la ligne Li, on ajoute b fois la ligne Lj : Li <- Li + bLj

Reprenons le système (A), à droite on l'écrit sous la forme matricielle dont l'écriture est plus légère :

(L1)
(L2)
(L3)
 
3x + 5y + 7z = 101
2x + 10y + 6z = 134
1x + 2y + 3z = 40
    forme matricielle allégée  
3 5 7 101
2 10 6 134
1 2 3 40
 

Itération 1 :

L1 <- L1
L2 <- 3 L2 - 2 L1
L3 <- 3 L3 - 1 L1
 
3x + 5y + 7z = 101
    20y + 4z = 200
    1y + 2z = 19
      
L1 <- L1
L2 <- 3 L2 - 2 L1
L3 <- 3 L3 - 1 L1
 
3 5 7 101
0 20 4 200
0 1 2 19
 

Itération 2 :

L1 <- L1
L2 <- L2
L3 <- 20 L3 - 1 L2
 
3x + 5y + 7z = 101
    20y + 4z = 200
        36z = 180
      
L1 <- L1
L2 <- L2
L3 <- 20 L3 - 1 L2
 
3 5 7 101
0 20 4 200
0 0 36 180
 

Légende : "<-" signifie "est remplacée par",
ainsi "L2 <- 3 L2 - 2 L1" signifie : on remplace L2 par 3 fois L2 - 2 fois L1
ce qui permet d'éliminer x de la ligne L2.

On a obtenu un système triangulaire supérieur équivalent au système (A).

  • 2ème étape : remontée

Le nouveau système triangulaire supérieur est très simple à résoudre :
(L3) donne : z = 180/36=5.
Puis dans (L2) : 20y +20 = 200 donc y = (200-20)/20 = 9.
Enfin dans (L1) : 3x + 45 + 35 = 101 donc x = (101 - 45 - 35)/3 = 7.

Conclusion : On a trouvé la solution du système (A) :

 
 
x = 7
y = 9
z = 5

 

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